rezolvarea ecuatiilor in Z

REZOLVAREA ECUATIILOR IN Z

Ce este aceea o ecuatie?

O expresie algebrica alcatuita din una sau mai multe necunoscute si in care apare o singura data semnul egal se numeste ecuatie.

Exemplu: 2y + 5 = 7 este o ecuatie cu necunoscuta y

Ce numim solutie a ecuatiei?

Un numar este o solutie a ecuatiei, daca inlocuind necunoscuta din ecuatie cu acel numar obtinem o egalitate adevarata.

In exemplul de mai sus, 2y + 5 = 7, 2y = 7-5, 2y = 2, y = 2:2, y=1, 1 este o solutie a ecuatiei, pentru ca daca inlocuim necunoscuta y cu valoarea 1, obtinem 2 * 1 + 5 = 7, adica 7 = 7, adevarat

Multimea solutiilor unei ecuatii se noteaza de obicei cu S.

Ecuatiile care admit aceeasi multime de solutii se numesc ecuatii echivalente.

Exemplu: 2x + 5 = 7 si 4x + 10 = 14; pentru ambele ecuatii solutia este x = 1.

In acest topic vorbim despre rezolvarea ecuatiilor in Z, adica multimea numerelor intregi. Ce inseamna acest lucru?

Pentru fiecare ecuatie se solicita de obicei sa se rezolve intr-o anumita multime (N, Z, Q), numita si domeniu al ecuatiei.

Daca solutia obtinuta nu face parte din domeniul specificat, inseamna ca ecuatia nu are solutii in acel domeniu.

Prin urmare este foarte important sa obtinem solutia ecuatiei si sa ne asiguram ca ea face parte din domeniul mentionat inainte de a spune ca aceea este solutia ecuatiei.

Cum se rezolva o ecuatie in Z?

Pentru a rezolva o ecuatie in Z, vom proceda la fel ca in cazul unei ecuatii in N, cu mentiunea ca trebuie sa avem in vedere tot timpul semnul numerelor, iar atunci cand trecem termenii dintr-o parte in alta a semnului egal, sa ii trecem cu semnul schimbat (adica, daca numarul are semnul +, il vom trece in partea cealalta cu - si invers, iar daca vorbim de inmultiri / impartiri, vom trece in partea cealalta cu impartire / inmultire.

Exemple de ecuatii in Z:

1. ax + b = 0, unde a, b ∈ Z, iar a ≠ 0 si x este necunoscuta

ax = 0 - b

ax = -b

x = (-b) / a

2. x:a=b, x ∈ Z

x = b * a

3. a : x = b

a : b = 1 * x

x = a : b

4. ax - b = cx, x ∈ Z

ax - cx = 0 + b

x (a - c) = b

x = b : (a - c)

5. ax + b = cx + d, x ∈ Z

ax - cx = d - b

x (a - c) = (d - b)

x = (d - b) : (a - c)

6. a(x - b) + c = dx + e

ax - ab + c = dx + e

ax - dx = e + ab - c

x (a - d) = e + ab - c

x = (e + ab - c) : (a - d)

EXERCITII REZOLVATE

1. Sa se rezolve in Z:

a) 7x + 14 = 0

Mutam pe 14 in partea cealalta a semnului egal, cu semn schimbat (adica in loc de + vom avea -).

7x = -14

Mutam pe 7 in partea cealalta a semnului egal, cu semn schimbat (adica in loc de inmultire, vom avea impartire)

x = (-14) : 7

x = -2

-2 ∈ Z, deci x = -2 este solutie a ecuatiei

b) x : (-7) = 21

Mutam pe (-7) in partea cealalta a semnului egal. Daca in stanga aveam o impartire, il vom muta prin inmultire.

x = 21 * (-7)

x = -147, x ∈ Z, deci -147 este solutie a ecuatiei

c) 5 : x = -25

Il mutam pe x in partea cealalta a semnului egal, prin inmultire

5 = (-25) * x

Mutam acum pe (-25) in partea cealalta a semnului egal prin impartire (pentru ca acum este o inmultire).

5 : (-25) = x

1 : (-5) = x

-0.2 = x

-0.2 ∉ Z, deci x = -0.2 nu este o solutie a ecuatiei

d) 14x + 16 = -2x

Grupam termenii cu x de aceeasi parte a semnului egal si pentru aceasta vom muta (-2x) in partea stanga, cu plus.

14 x + 2x + 16 = 0

16 x + 16 = 0

Mutam acum pe 16 in partea dreapta a semnului egal, cu semn schimbat.

16 x = -16

Mutam pe 16 din 16x in partea dreapta a semnului egal, prin impartire (acum aveam o inmultire).

x = (-16) : 16

x = -1 ∈ Z, deci x = -1 este solutie a ecuatiei

e) 7x - 19 = 3x - 143

Grupam termenii cu x de aceeasi parte a semnului egal si il vom muta pe 3x in stanga cu (-), pentru ca acum este cu (+).

7x - 3x - 19 = -143

4x - 19 = -143

Mutam pe (-19) in partea dreapta a semnului egal, cu semn schimbat, adica cu +.

4x = -143 + 19

4x = -124

Mutam pe 4 in partea dreapta a semnului egal prin impartire pentru ca acum avem o inmultire (4x).

x = (-124) : 4

x = -31 ∈ Z, deci x = -31 este solutie a ecuatiei

f) 7 (x - 3) = -42

Mutam 7 in partea cealalta a semnului egal, cu semn schimbat. Observam ca avem o inmultire, intre 7 si (x-3), deci il vom trece dincolo de egal prin impartire.

(x - 3) = (-42) : 7

x - 3 = -6

Mutam acum pe 3 in partea cealalta a semnului egal. Observam ca avem o scadere, 3 are semnul (-), deci il vom trece in partea cealalta cu (+), adica vom avea:

x = (-6) + 3

x = (-3)

(-3) ∈ Z, deci putem spune ca x = -3 este solutie a ecuatiei.

g) 5 (-x + 2) = -4 (2x - 4)

Desfacem parantezele, atat in partea stanga cat si in partea dreapta a semnului egal si vom obtine:

-5x + 10 = -8x + 16

Grupam termenii cu x de aceeasi parte a semnului egal si pe ceilalti in partea cealalta:

-5x + 8x = 16 - 10

3x = 6

Mutam pe 3 in partea cealalta a semnului egal prin impartire (pentru ca acum avem o inmultire, 3x)

x = 6 : 3

x = 2 ∈ Z, deci x = 2 este solutie a ecuatiei

2. Sa se rezolve ecuatia - 8x - 1 = 15, in multimea A = {-2; -1; 0; 1}

Mutam pe -1 in partea cealalta a semnului egal, cu semn schimbat:

-8x = 15 + 1

-8x = 16

Mutam pe (-8) in partea cealalta a semnului egal, prin impartire (pentru ca aici avem inmultire -8x):

x = 16 : (-8)

x = -2

Solutia trebuie sa apartina multimii A pentru a fi considerata solutie a ecuatiei.

-2 ∈ A, deci x = -2 este solutie a ecuatiei.