RELATIA DE EGALITATE IN MULTIMEA NUMERELOR REALE

Relatia de egalitate dintre numerele reale are urmatoarele proprietati:

1. REFLEXIVITATEA: a = a

2. SIMETRIA: daca a = b ⇒ b = a

3. TRANZITIVITATEA: daca a = b si b = c ⇒ a = c

Daca a = b, atunci:

a + c = b + c

a - c = b - c

a * c = b * c

a : c = b : c, c≠0

Daca a = b si c = d, atunci:

a + c = b + d

a - c = b - d

a * c = b * d

a : c = b : d, cu c si d ≠ 0

EXERCITII:

Folosind proprietatile relatiei de egalitate, justificati echivalentele:

3x - 19 = 5x + 1 ⇔ -19 = 2x+1 ⇔ -20 = 2x ⇔ -10 = x ⇔ x=-10

Rezolvare:

Pentru a demonstra prima echivalenta, ne vom folosi de urmatoarea proprietate: a - c = b - c

Notam cu a = 3x-19 si cu b = 5x+1. Consideram c = 3x

Rezulta: (3x - 19) - 3x = (5x + 1) - 3x (am scazut si in stanga si in dreapta -3x)

Rezulta: 3x - 19 - 3x = 5x + 1 - 3x ⇒ -19 = 2x +1 ⇒ 3x - 19 = 5x + 1 ⇔ -19 = 2x+1

Si astfel am demonstrat prima echivalenta.

Pentru a demonstra a doua echivalenta, -19 = 2x+1 ⇔ -20 = 2x, vom folosi urmatoarea proprietate: a - c = b - c

Notam cu a = -19 si cu b = (2x+1). Consideram c = -1.

Rezulta: -19 - 1= (2x + 1) - 1

⇒ -20 = 2x + 1 - 1 ⇒ -20 = 2x ⇒ -19 = 2x+1 ⇔ -20 = 2x. Si astfel am demonstrat si a 2-a echivalenta.

Pentru a demonstra a 3-a echivalenta, -20 = 2x ⇔ -10 = x, vom folosi urmatoarea proprietate: a : c = b : c

Notam cu a = -20 si cu b = 2x. Consideram c = 2.

⇒ (-20) : 2 = (2x):2 ⇒ -10 = x ⇒ -20 = 2x ⇔ -10 = x. Astfel am demonstrat si a 3-a echivalenta.

Pentru a demonstra a 4-a echivalenta, -10 = x ⇔ x=-10, vom folosi proprietatea de simetrie: daca a = b ⇒ b = a

Notam cu a = (-10) si cu b = x. 

⇒ x = -10 ⇒ -10 = x ⇔ x=-10 si am demonstrat si ultima echivalenta.