MULTIMEA NUMERELOR REALE

Multimea numerelor rationale, impreuna cu multimea numerelor irationale, formeaza multimea numerelor reale. Aceasta se noteaza cu R.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Numerele rationale sunt fractii zecimale periodice, finite sau infinite.

Numerele irationale sunt fractii zecimale infinite, neperiodice.


CUM APROXIMAM NUMERELE REALE?

Daca avem numarul a = 1,3103, atunci prin trunchierea numarului (adica renuntarea la cifre din numar, incepand de la sfarsit spre inceput) obtinem aproximari ale numarului.

In cazul de fata: 1,310; 1,31; 1,3; 1 sunt aproximari ale numarului initial.

La fel se intampla si pentru numerele negative:

b = -0,4231, atunci numerele -0,423; -0,42; -0,4 sunt aproximari zecimale ale numarului.

APROXIMARILE ZECIMALE SE POT FACE PRIN LIPSA SAU PRIN ADAOS.

APROXIMARI ZECIMALE PRIN LIPSA = se obtin cum spuneam mai sus prin trunchierea numarului initial, obtinand astfel un numar mai mic decat cel initial.

APROXIMARILE ZECIMALE PRIN ADAOS = se obtin adaugand 1 la ultima cifra ramasa din numarul trunchiat. In exemplul de mai sus, numarul 1,3103 aproximat prin adaos va fi: 2 sau 1,4 sau 1,32 sau 1,311. Asa cum se poate observa, aproximand prin adaos se obtine mereu un numar mai mare decat numarul initial.


CUM SE ORDONEAZA NUMERELE REALE?

Pe axa numerelor, se vor aseza numerele pornind de la aproximari zecimale ale acestora, astfel incat sa se respecte regulile invatate si in clasele anterioare.

Astfel, 0, va fi punctul de origine pe axa, in stanga lui vom plasa numerele negative, iar in dreapta pe cele pozitive.

De exemplu, 2,567 > 2, prin urmare va fi scris pe axa dupa 2.

De asemenea, 2,567 < 2,601, deci va fi trecut pe axa inaintea lui 2,601.

Compararea numerelor pentru a vedea care este mai mare, se face pornind de la prima cifra a fiecarui numar si pana la ultima. In momentul in care un numar are o cifra mai mare decat celalalt, atunci acela este numarul mai mare.

Exemplu: 1,223453 si 1,223463.

1 = 1

2 = 2

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 < 6

In acest moment ne oprim si putem spune ca numarul care contine cifra 5, adica 1,223453 < 1,223463.


CARE SUNT PROPRIETATILE RELATIEI DE ORDINE?

1) REFLEXIVITATEA: a ≤ a

2) ASIMETRIA: Daca a ≤ b si b ≤ a, atunci a = b

3) TRANZITIVITATEA: Daca a < b si b < c, atunci a < c; daca a ≤ b si b ≤ c, atunci a ≤ c; daca a ≤ b si b < c, atunci a < c

4) Daca a, b ∈ R, atunci este adevarata una si numai una din propozitiile: a < b sau a = b sau a > b


CE ESTE OPUSUL UNUI NUMAR REAL?

Daca marcam pe axa numerelor un punct O numit origine, un sens pozitiv al axei, indicat printr-o sageata in partea dreapta a axei numerelor si acum marcam numarul a = 1,5 in partea dreapta a axei, masurand 1,5 din origine, obtinem punctul A, de abscisa 1,5.

Daca masuram acum 1,5 pornind din origine catre sensul negativ (adica opus sensului pozitiv), obtinem punctul A' de abscisa -1,5.

Aceste 2 puncte, A si A', situate pe axa numerelor la distanta egala fata de origine, se numesc numere opuse.

Prin urmare, opusul lui 1,5 este -1,5 si invers, opusul lui -1,5 este 1,5.


CE ESTE MODULUL UNUI NUMAR?

Daca luam in considerare exemplul anterior, atunci distanta OA = 1,5 se numeste modulul numarului a. De fapt, modulul unui numar este valoarea absoluta a acelui numar. Modulul unui numar se noteaza |a|.

Daca numarul este negativ, modulul numarului va fi acelasi numar, dar pozitiv: |-1,5| = 1,5 (in cazul acesta numarul a=-1,5, deci |a| = - a = - (-1,5) = 1,5)

Daca numarul este pozitiv, modulul numarului va fi chiar numarul: |1,5| = 1,5 (in cazul acesta numarul a = 1,5, deci |a| = a = 1,5)

Putem spune prin urmare ca |a| = |-a| = a, pentru orice a ∈ R

Generalizand putem spune ca |a| = a, daca a>0 si |a| = -a, daca a<0.

Pentru a compara doua numere reale negative, este recomandat sa comparati modulele lor (astfel incat veti compara numere pozitive).