ECUATII

ECUATII CU O NECUNOSCUTA

Daca avem doua expresii, E si F, care contin o necunoscuta x si avem si o multime data, M ⊂ R, atunci forma generala a unei ecuatii cu o necunoscuta este:

E(x) = F(x), x ∈ M.

Multimea M este multimea in care ia valori necunoscuta. Daca aceasta multime nu se precizeaza, se va considera implicit ca M este multimea numerelor reale, sau cea mai cuprinzatoare multime  de numere reale in care expresiile E si F au sens.

Elementele multimii M care verifica ecuatia se numesc solutii ale ecuatiei.

Doua ecuatii care au aceleasi solutii se numesc ecuatii echivalente.

Exemplu de ecuatie cu o necunoscuta:

-2x + 3 = 6, x ∈ {-1; 2; 0; -1.5; 1.73}

Vom inlocui pe rand pe x cu valorile din multimea din care apartine, pentru a vedea care dintre acestea verifica ecuatia, deci este solutie a ecuatiei.

Daca x = -1, atunci -2 (-1) + 3 = 6 ⇒ 2 + 3 = 6 ⇒ 5 = 6 ⇒ FALS, deci -1 nu este solutie a ecuatiei.

Daca x = 2, atunci -2 * 2 + 3 = 6 ⇒ -4 + 3 = 6 ⇒ -1 = 6 ⇒ FALS, deci 2 nu este solutie a ecuatiei.

Daca x = 0, atunci -2 * 0 + 3 = 6 ⇒ 0 + 3 = 6 ⇒ 3 = 6 ⇒ FALS, deci 0 nu este solutie a ecuatiei.

Daca x = -1.5, atunci -2 * (-1.5) + 3 = 6 ⇒ 3 + 3 = 6 ⇒ 6 = 6 ⇒ ADEVARAT, deci -1.5 este solutie a ecuatiei.

Daca x = 1.73, atunci -2 * (1.73) + 3 = 6 ⇒ -3.46 + 3 = 6 ⇒ -0.46 = 6 ⇒ FALS, deci 1.73 nu este solutie a ecuatiei.

Prin urmare singura solutie a ecuatiei este x = -1.5

CUM SE REZOLVA O ECUATIE CU O NECUNOSCUTA?

Ecuatia ax + b = 0, cu x ∈ M, M ⊂ R, a si b ∈ R se rezolva astfel:

Daca a ≠ 0:

- separam mai intai necunoscuta x intr-o parte a semnului egal, de preferat in partea stanga, si ceilalti termeni in partea dreapta: ax = -b

- impartim apoi ambii membri ai ecuatiei la a: ax : a = (-b) : a, adica x = (-b) : a

- daca x ∈ M, atunci ecuatia are solutia unica x = (-b) : a

- daca x ∉ M, atunci ecuatia nu are solutii

Daca a = 0:

- avem 0 * x + b = 0, adica b = 0

- daca b = 0, atunci multimea solutiilor ecuatiei este M

- daca b ≠ 0, atunci ecuatia nu are solutii

Orice ecuatie este reductibila la forma ax + b = 0, cu  x ∈ M, M ⊂ R.

Prin urmare, daca aveti orice fel de ecuatie cu o singura necunoscuta, incercati sa o aduceti la forma de mai sus si ulterior o rezolvati asa cum s-a aratat la pasul anterior.


ECUATII CU 2 NECUNOSCUTE

Ecuatia cu 2 necunoscute este de forma ax + by + c = 0, cu x, y ∈ R.

A rezolva o astfel de ecuatie inseamna a-i determina multimea solutiilor.

Perechea ordonata (u,v) ∈ R x R se numeste solutie a ecuatiei, daca verifica ecuatia, adica au + bv + c = 0.

CUM SE REZOLVA O ECUATIE CU 2 NECUNOSCUTE?

Pentru a rezolva o astfel de ecuatie, vom proceda dupa cum urmeaza:

1. Atribuim o valoare u lui x; x = u ⇒ au + by + c = 0 ⇒ by = (-c - au) ⇒ y = (-c - au) : b, prin urmare multimea A = { (u; (-c-au):b) ∈ R x R / u ∈ R} este multimea tuturor solutiilor ecuatiei.

2. SAU, putem sa ii atribuim o valoare lui y, y = v si sa determinam valorile posibile ale lui x, astfel: ax + bv + c = 0 ⇒ ax = (-c - bv) ⇒ x = (-c - bv) : a, prin urmare multimea B = {((-c - bv):a; v) ∈ R x R / v ∈ R} este multimea solutiilor ecuatiei

Cele doua multimi obtinute sunt egale.

Doua ecuatii de forma a1x + b1y + c1 = 0 si a2x + b2y + c2 = 0 sunt echivalente daca au aceeasi multime a solutiilor.


INTERPRETAREA GEOMETRICA

Multimea solutiilor ecuatiei cu 2 necunoscute consta din elemente ale produsului cartezian R x R, identificata printr-un plan geometric prin alegerea unui sistem ortogonal de axe.

Daca avem de exemplu ecuatia 3x - 2y + 1 = 0, cu x si y cele doua necunoscute, vom incepe prin a da valori lui x pentru a obtine un y, respectiv un punct A, de coordonate (x, y), pe care sa il putem reprezenta intr-un sistem ortogonal de axe.

Astfel, pentru x = 1, ecuatia devine 3 * 1 - 2y + 1 = 0, adica 3 - 2y = -1, deci 3 + 1 = 2y, 4 = 2y, y = 2. Obtinem astfel primul punct, A (1,2).

Pentru x = -1, ecuatia devine 3 * (-1) - 2y + 1 = 0, adica -3 - 2y + 1 = 0, deci -2 = 2y, y = -1. Obtinem astfel al doilea punct, B (-1, -1).

Avand doua puncte, prin ele putem trasa o dreapta. Toate punctele aflate pe aceasta dreapta vor fi solutii ale ecuatiei, deci multimea solutiilor este:

- cand x = x, 3x + 1 = 2y, adica y = (3x+1)/2, deci M = {(x; (3x+1)/2) | x ∈ R}